广义欧姆定律的推导

——郑春开 《等离子体物理》4.7节 P86

假设电子和离子密度相同$n_e=n_i=n$$n_e=n_i=n$，并保持电中性，应用双流体方程组：

其中$\alpha =i,e$$\alpha=i,e$；在等离子体物理中的摩擦系数${\mathbf{R}}_{\alpha }$$\mathbf{R}_\alpha$通常可以写为布拉金斯基给出的形式：

式子中${\nu }_{ei}$$\nu_{ei}$为电子-离子碰撞频率。注意，同类粒子碰撞时因为其动量守恒，对摩擦阻力没有贡献，所以${\mathbf{R}}_i={\mathbf{R}}_{ie},{\mathbf{R}}_e={\mathbf{R}}_{ei}$$\mathbf{R}_i=\mathbf{R}_{ie},\ \mathbf{R}_e=\mathbf{R}_{ei}$而且${\mathbf{R}}_{ei}={\mathbf{R}}_{ie}$$\mathbf{R}_{ei}=\mathbf{R}_{ie}$，于是(1)式变为：

用$e/m_i$$e/m_i$乘以(3)中的1式，$e/m_e$$e/m_e$乘以(3)中的2式，然后两式相减：

电流密度

使用以下近似化简(4):

因为$p_i=n_i{T}_i,p_e=n_e{T}_e,n_i=n_e,T_i\approx T_e$$p_i=n_iT_i,\ p_e=n_eT_e,\ n_i=n_e,\ T_i\approx T_e$

(4)中的第一项：

上式忽略了$({\mathbf{u}}_i-{\mathbf{u}}_e)e\frac{\partial n}{\partial t}$$(\mathbf{u}_i-\mathbf{u}_e)e\frac{\partial n}{\partial t}$这个二级小量项目，是因为平均速度都很像且速度与密度随时间变化环面。同理(4)的左边第二项$ne({\mathbf{u}}_i\cdot \mathrm{\nabla }{\mathbf{u}}_{\mathbf{i}}-{\mathbf{u}}_e\cdot \mathrm{\nabla }{\mathbf{u}}_{\mathbf{e}})$$ne(\mathbf{u}_i\cdot\nabla\mathbf{u_i}-\mathbf{u}_e\cdot\nabla\mathbf{u_e})$，右方第二项的因子可以变为：

于是(4)整理为：

其中${\sigma }_c=\frac{e^{2}n}{m_e{\nu }_{ei}}$$\sigma_c=\frac{e^2n}{m_e\nu_{ei}}$是等离子体电导率。

整理成空间物理学经常用的形式：

其中$\frac{1}{{\sigma }_c}\mathbf{j}$$\frac{1}{\sigma_c}\mathbf{j}$表示为电阻项；$\frac{1}{ne}\mathbf{j}\times \mathbf{B}$$\frac{1}{ne}\mathbf{j}\times\mathbf{B}$是霍尔项；$-\frac{1}{ne}\mathrm{\nabla }{p}_e$$-\frac{1}{ne}\nabla p_e$是电子压强梯度项；$\frac{m_e}{n{e}^2}\frac{\partial \mathbf{j}}{\partial t}$$\frac{m_e}{ne^2}\frac{\partial \mathbf{j}}{\partial t}$代表电子惯性项。